Question

19．△ABC中，若a，b，c成等比数列，则B的取值范围为（0，$\frac{π}{3}$），$\frac{sinA+cosAtanC}{sinB+cosBtanC}$的取值范围为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理，基本不等式，即可确定B的取值范围．
把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角和之间的关系，最后角化边，得到要求的范围既是公比的范围，用公比表示出三条边，根据两边之和大于第三边，得到不等式组，得到结果．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
设三边的公比是q，三边为a，aq，aq²，
原式=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{sinBcosC+cosBsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sin（B+C）}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{b}{a}$=q
∵aq+aq²＞a，①
a+aq＞aq²②
a+aq²＞aq，③
解三个不等式可得q＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，0＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
综上有$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{π}{3}$）；（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

点评 本题考查等比数列的性质，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，难度较大，综合性较强．