Question

16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）-f（x-5）=0，当x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是1209．

Answer 1

分析 由f（x）-f（x-5）=0可判断出函数的周期性，由x∈（-1，4]时函数的解析式，可以求出一个周期内函数的零点个数，进而可得函数f（x）在[0，2016]上的零点个数．

解答 解：∵f（x）-f（x-5）=0，
∴f（x）=f（x-5），
∴f（x）是以5为周期的周期函数，
又∵f（x）=x²-2^x在x∈（-1，4]区间内有3个零点，
∴f（x）在任意周期上都有3个零点，
∵x∈（1，2016]上包含403个周期，
又∵x∈[0，1]时不存在零点，
故零点数为3×403=1209．
故答案为：1209．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知分析出函数的周期性是解答的关键．