Question

11．已知函数f（x）=x²-2ax+a+2，
（1）记f（sinx），x∈R的最大值为M（a），求M（a）；
（2）若g（x）=f（x）+|x²-1|在区间（0，3）内有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（sinx）的解析式，通过讨论a的范围，求出M（a）即可；
（2）求出g（x）的分段函数的形式，首先讨论a是否是0，在a≠0时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a所满足的条件，从而求其范围．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+a+2，
f（sinx）=（sinx）²-2asinx+a+2=（sinx-a）²+a²+a+2，
a≥0时，M（a）=（-1-a）²+a²+a+2=2a²+3a+3，
a＜0时，M（a）=（1-a）²+a²+a+2=2a²-a+3；
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2ax+a+1，|x|≥1}\\{-2ax+a+3，|x|＜1}\end{array}\right.$，
若a=0，则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}+1，|x|≥1}\\{3，|x|＜1}\end{array}\right.$，无零点；
若a≠0，则y=-2ax+a+3在（0，1）单调，
∴其在（0，1）内至多有一个零点．
①若0＜x₁＜1≤x₂＜3，
则$\left\{\begin{array}{l}{3（-a+3）＜0}\\{（3-a）（19-5a）≤0}\end{array}\right.$，
解得，3＜a≤$\frac{19}{5}$，
经检验，a=$\frac{19}{5}$时不成立，
②若1≤x₁＜x₂＜3，
由$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-8（a+1）＞0}\\{1＜\frac{a}{2}＜3}\\{3-a≥0}\\{19-5a＞0}\end{array}\right.$，
解得，1+$\sqrt{3}$＜a≤3，
综上所述，实数a的取值范围是（1+$\sqrt{3}$，$\frac{19}{5}$）．

点评 本题考查了函数的零点的问题，数学讨论的思想，讨论比较复杂，要注意细心，属于难题．