Question

14．已知函数f（x）=kx²-lnx（k∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围，并证明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+$\frac{ln4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{2e}$（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）由k≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，设φ（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，从而得到$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，n≥2，对n依次取值2，3，4，…，n，作和即可．

解答 解：（1）由题可知f（x）=kx²-lnx，定义域为（0，+∞），
所以f′（x）=2kx-$\frac{1}{x}$=$\frac{2k{x}^{2}-1}{x}$，
若k≤0，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递减．
若k＞0，f′（x）=2kx-$\frac{1}{x}$=$\frac{2k{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{2k（{x}^{2}-\frac{1}{2k}）}{x}$=$\frac{2k（x+\frac{1}{\sqrt{2k}}）（x-\frac{1}{\sqrt{2k}}）}{x}$，
当x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{2k}}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（$\frac{1}{\sqrt{2k}}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（2）不等式f（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立
则kx²≥lnx，故k≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
设φ（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，由于φ′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令φ′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
当x∈（0，$\sqrt{e}$）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
当x∈（$\sqrt{e}$，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
所以φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
因此k≥$\frac{1}{2e}$，即k∈[$\frac{1}{2e}$，+∞）．
由k∈[$\frac{1}{2e}$，+∞），可知$\frac{lnx}{{x}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，x≥2，
从而得到$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，n≥2，对n依次取值2，3，4，…，n可得
$\frac{ln2}{{2}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，$\frac{ln3}{{3}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，$\frac{ln4}{{4}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，…，$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}$，n≥2，
对上述不等式两边依次相加得到：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+$\frac{ln4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{2e}$，（n≥2，n∈N⁺）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，属于中档题．