Question

4．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）设函数g（x）=f（x）-2（x-1），求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数的极值的关系即可求出极值点；
（2）先求导，再判断g（x）在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出最值．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
所以f（x）在区间（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在区间（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增．
所以，x=$\frac{1}{e}$是函数f（x0的极小值点，极大值点不存在．
（2）g（x）=f（x）-2（x-1）=xlnx-2x+1  则g′（x）=lnx-1，
由g′（x）=0，得x=e，g（x）在[1，e]上单调递减，
所以g（x）的最小值为g（e）=2-e．

点评 本题考查了导数和函数的极值和最值的关系，以及考查了运算能力和转化能力，属于中档题．