Question

（2012•许昌三模）已知点A（-2，0），B（2，0）直线PA与直线PB斜率之积为-

3

4

，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线c的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|

OM

-

ON

|=|

OM

+

ON

|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-

3

4

，建立等式，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）若|

OM

-

ON

|=|

OM

+

ON

|，则

OM

⊥

ON

．分斜率存在与不存在，结合椭圆的方程，利用韦达定理，可得原点O到直线MN的距离恒为d=

12 7

，从而存在以原点为圆心且与MN总相切的圆．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-

3

4

，得

y

x+2

×

y

x-2

=-

3

4

(x≠±2)．
整理得曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．----（4分）
（Ⅱ）若|

OM

-

ON

|=|

OM

+

ON

|，则

OM

⊥

ON

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN斜率不存在，则N（x₁，-y₁）．
由

OM

⊥

ON

得

y1

x1

×

-y1

x1

=-1，又

x12

4

+

y12

3

=1，∴x1=±

12 7

，
∴直线MN方程为x=±

12 7

．
∴原点O到直线MN的距离d=

12 7

．----（6分）
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

．（*）----（8分）
由

OM

⊥

ON

得

y1

x1

×

y2

x2

=-1，整理得（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
（*）式代入：（k²+1）×

4m2-12

4k2+3

+km×

-8km

4k2+3

+m²=0
解得7m²=12（k²+1）．----（10分）
此时原点O到直线MN的距离d=

|m|

k2+1

=

12 7

．
故原点O到直线MN的距离恒为d=

12 7

．
∴存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2+y2=

12

7

．----（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．