Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，，为线段的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）根据为正三角形及为线段的中点可知，再由所给线段长度及勾股定理逆定理证明，即可由线面垂直的判定定理证明平面；

（2）以为原点，分别以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，结合可求得的坐标，由空间向量法求得平面的法向量及平面的法向量，由空间向量法即可求得二面角的余弦值，进而求得二面角的大小．

（1）证明：连接，如下图所示：

∵是边长为2的正三角形，且是中点，

∴，，

又∵是边长为2的菱形，，

∴是正三角形，，

又∵，

∴，即，又，，

∴平面．

（2）由（1）可得：以为原点，分别以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系如下图所示

则，，，，．

设点坐标为，由，得

，

∴，

∴，，

设平面的法向量为，

则，令z=1，得．

∵平面，

∴平面的法向量，

∴，

由空间结构体图形可知，二面角为锐二面角，

∴二面角的大小为．