Question

在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90°，PC=AC，H为PA的中点，M、N分别为棱PA，PB上的点，且PN=3NB．
（1）求证：PA⊥平面BCH；      
（2）若MN∥平面HBC，则PM：MA的值．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直的性质可证BC⊥平面PAC，由线面垂直的性质证明BC⊥PA，再证PA⊥CH，由线面垂直的判定定理可证线面垂直．
（2）由线面平行可得线线平行，再根据平行线分线段成比例定理，求出

PM

MA

．

解答：解：（1）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90°即AC⊥BC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PA，
∵H为PA的中点，PC=AC，∴CH⊥PA，又BC∩CH=C，
∴PA⊥平面BCH．
（2）∵MN∥平面HBC，MN?平面PAB，平面PAB∩平面BHC=BH，
∴MN∥BH，∴

PM

MH

=

PN

NB

=3⇒

PM

PH

=

3

4

，
∵H为PA的中点，∴

PM

PA

=

3

8

，
∴

PM

MA

=

3

5

．

点评：本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了线面平行的性质及平行线分线段成比例定理，考查了学生的空间想象能力与逻辑推理论证努力．