Question

20．已知一组函数f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，n∈N^*，则下列说法正确的个数是（　　）
①?n∈N^*，f_n（x）≤$\sqrt{2}$恒成立
②若f_n（x）为常数函数，则n=2
③f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递减，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，即可判断出正误；
②当n=1时，f₁（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f₂（x）=sin²x+cos²x=1为常数函数，当n≠2时，令sin²x=t∈[0，1]，则f_n（x）=${t}^{\frac{n}{2}}$+$（1-t）^{\frac{n}{2}}$=g（t），利用导数研究函数的单调性即可判断出正误；
③利用平方关系、倍角公式可得：f₄（x）=$\frac{1}{4}cos4x$+$\frac{3}{4}$，即可判断出其单调性．

解答 解：①∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$≤$\sqrt{2}$，因此正确；
②当n=1时，f₁（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f₂（x）=sin²x+cos²x=1为常数函数，
当n≠2时，令sin²x=t∈[0，1]，则f_n（x）=${t}^{\frac{n}{2}}$+$（1-t）^{\frac{n}{2}}$=g（t），g′（t）=$\frac{n}{2}{t}^{\frac{n-2}{2}}$-$\frac{n}{2}（1-t）^{\frac{n-2}{2}}$=$\frac{1}{2}[{t}^{\frac{n-2}{2}}-（1-t）^{\frac{n-2}{2}}]$，当t∈$[0，\frac{1}{2}）$时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；
当t∈$（\frac{1}{2}，1]$时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数f_n（x）不是常数函数，因此②正确．
③f₄（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}si{n}^{2}2x$=$1-\frac{1}{2}×\frac{1-cos4x}{2}$=$\frac{1}{4}cos4x$+$\frac{3}{4}$，当x∈[0，$\frac{π}{4}$]，4x∈[0，π]，因此f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递减，当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，4x∈[π，2π]，因此f₄（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，因此正确．
综上可得：①②③都正确．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．