Question

（2013•盐城一模）已知函数f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，          x≥2

，若关于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g（t）=

25

24

t2-6t+7的值域为

[-

41

25

，-1）

．

Answer 1

分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=kx，因为两图象有且仅有四个公共点，得出最大根t的取值范围．再利用二次函数的性质，即可得到函数g（t）=

25

24

t2-6t+7的值域．

解答：解：作出函数f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，          x≥2

，当0≤x＜4时的图象，如右图中红色的三个半圆．
将直线y=kx围绕坐标原点进行旋转，可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个半圆相切之间时，两图象有且仅有四个不同的公共点，
此时，其最大根t∈（

8

3

，

72+8 6

25

），
则函数g（t）=

25

24

t2-6t+7，t∈（

8

3

，

72+8 6

25

）的值域为[-

41

25

，-1）．
故答案为：[-

41

25

，-1）．

点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根，并且用这个根来求值域，着重考查了函数与方程的关系，以及数形结合思想，属于中档题．