Question

已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，集合B={x|x²-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B能同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B=B；③∅?（A∩B）？若存在，求出实数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：要同时满足①A≠B②A∪B=B③空集真包含于（A∩B）则A不可以为空集．
假设存在这样的实数a，那么A={2}或A={3}
①A={2}时
由韦达定理有2+2=a，2×2=a²-19
故a无解
②A={3}时
由韦达定理有3+3=a，3×3=a²-19
故a无解．
综上：不存在实数a，使得集合A，B能同时满足三个条件
分析：对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使得集合A，B能同时满足下列三个条件，再利用A不可以为空集，那么A={2}或A={3}，求出a的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．