Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+2．
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有15种情况．因为方程有两个相等的根，所以根的判别式为零得到a=2b²，结合a=2b²占2种情况，即可求得方程f（x）=0有两个相等实根的概率；
（2）本小题是一个几何概型的概率问题，先根据函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，利用几何概型计算公式得到结果．

解答：解：（1）∵方程ax²-4bx+2=0有两等根，则△=16b²-8a=0即a=2b²
若a=2则b=-1或1
∴事件包含基本事件的个数是2个，可得所求事件的概率为

2

15

；
（2）函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，当且仅当2b≤a且a＞0时，
函数f（x）=ax²-4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
构成所求事件的区域为三角形部分．
由

a+b-8=0 b= a 2

得交点坐标为(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率为P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．