Question

已知函数f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．

Answer 1

分析：（1）根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解；
（2）由（1）知定义域关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系；
（3）先在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形，再与零进行比较，关键是变形到位用上条件．

解答：解：（1）

x≠0 1+x 1-x ＞0

?-1＜x＜0或0＜x＜1，
故f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）；
（2）∵f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函数；
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=(

1

x1

-

1

x2

)+(log2

1+x2

1+x2

-log2

1+x1

1-x1

=

x2-x1

x1x2

+log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
（1-x₁）（1+x₂）=1-x₁x₂+（x₂-x₁）＞1-x₁x₂-（x₂-x₁）=（1+x₁）（1-x₂）＞0
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1， log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，

x2-x1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在（0，1）内递减．
另解：f′(x)=-(

1

x2

+

2

1-x2

log2e)∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0，1）内是减函数．

点评：本题主要考查函数的基本性质，涉及到定义域的求法，要注意分式函数，根式函数和基本函数的定义域；还考查了奇偶性的判断，要注意定义域，