Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；

(3)记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题意得e2，．又a2＝b2+c2，，解得b2；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．

联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，可设直线MN方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2＝8，由MN∥l，得由（1﹣x1）（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．得（xM﹣xN）2＝4x2即可；

（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），从而 ，由得

即 ①，由（2）知②，由①②得50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2.

（1）因为椭圆C：1经过点所以．

又∵a2＝b2+c2，，解得b2＝4或b2＝8（舍去）．

所以椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

因为T（1，0），则直线l的方程为y＝k（x﹣1）．

联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，

所以x1+x2，x1x2．

因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，

联立直线MN与椭圆方程

消去y得（2k2+1）x2＝8，

解得x2

因为MN∥l，所以

因为（1﹣x1）（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．

（xM﹣xN）2＝4x2．

所以．

（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），

从而 ，

∵，①

由（2）知②

由①②得

代入x1x250k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2＝2或k2（舍）．

又因为k＞0，所以k．