【题目】
已知数列中,
,前项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为
,是否存在实数
,使得
对一切正整数都成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
的最小值为
【解析】
试题(1)给出与
的关系,求
,常用思路:一是利用
转化为
的递推关系,再求其通项公式;二是转化为
的递推关系,先求出
与
的关系,再求
;(2)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的.(3)在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简,这样给做题带来方便,掌握常见求和方法,如分组转化求和,裂项法,错位相减.
试题解析:(1)∵
∴
∴
整理得
∴
两式相减得
即
∴,
即
∴数列是等差数列
且,得
,则公差
∴
(2)由(1)知
∴
∴
则要使得对一切正整数都成立,只要
,所以只要
∴存在实数,使得
对一切正整数都成立,且
的最小值为
.
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【题目】在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:
摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?
(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
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【题目】已知,
,点
满足
,记点
的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线过点
且与轨迹
交于
、
两点.
(i)无论直线绕点
怎样转动,在
轴上总存在定点
,使
恒成立,求实数
的值.
(ii)在(i)的条件下,求面积的最小值.
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【题目】给出下列四种说法:①函数的单调递增区间是
;②函数
与
的值域相同;③函数
与
均是奇函数;④若函数
在
上有零点,则实数
的取值范围是
.其中正确结论的序号是_______.
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【题目】如图,正方形的边长为
,已知
,将
沿
边折起,折起后
点在平面
上的射影为
点,则翻折后的几何体中有如下描述:
①与
所成角的正切值是
;
②;
③是
;
④平面平面
;
⑤直线与平面
所成角为30°.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)
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【题目】如图,在三棱柱中,底面ABC为正三角形,
底面ABC,
,点
在线段
上,平面
平面
.
(1)请指出点的位置,并给出证明;
(2)若,求
与平面ABE夹角的正弦值.
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【题目】新冠肺炎疫情期间,为了减少外出聚集,“线上买菜”受追捧.某电商平台在地区随机抽取了
位居民进行调研,获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额(单位:元),整理得到如图所示频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)从“线上买菜”消费总金额不低于元的被调研居民中,随机抽取
位给予奖品,求这
位“线上买菜”消费总金额均低于
元的概率;
(3)若地区有
万居民,该平台为了促进消费,拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人
元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替,试根据上述频率分布直方图,估计该平台在
地区拟投放的电子补贴总金额.
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