Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为2-

2

，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求

OM

•

ON

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义和性质即可解出a、b、c；
（2）利用点斜式方程得出直线PB的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数之间的关系得出点P、B的坐标之间的关系，再利用点斜式表示直线AE的方程，进而即可证明过定点；
（3）分类讨论直线MN是否与x轴垂直，与椭圆方程联立得出点MN的坐标之间的关系，再表示出

OM

•

ON

，进而即可求出其取值范围．

解答：解：（1）由题意可得

a-c=2- 2 a2 c -c=b a2=b2+c2

解得

a=2 b=c= 2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）如图所示：
设直线PB的方程为y=k（x-4），B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则A（x₁，-y₁）．
联立

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y化为方程（1+2k²）x²-16k²x+32k²-4=0，
∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，
∴△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-4）＞0．（*）
x₁+x₂=

16k2

1+2k2

，x1x2=

32k2-4

1+2k2

．
直线AE的方程为y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，则x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

x1k(x2-4)+x2k(x1-4)

k(x1+x2-8)

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2(32k2-4) 1+2k2 - 4×16k2 1+2k2

16k2 1+2k2 -8

=

-8

-8

=1．
故直线AE过定点Q（1，0）．
（3）①当直线MN与x轴重合时，

OM

•

ON

=（2，0）•（-2，0）=-4；
②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my=x-1，
联立

my=x-1 x2 4 + y2 2 =1

消去x化为方程（2+m²）y²+2my-3=0，可知△＞0．
可得y_M+y_N=

-2m

2+m2

，y_My_N=

-3

2+m2

．
∴

OM

•

ON

=x_Mx_N+y_My_N=（my_M+1）（my_N+1）+y_My_N=（1+m²）y_My_N+m（y_M+y_N）+1
=

-3(1+m2)

2+m2

+

-2m2

2+m2

+1=-4+

7

2+m2

，
∵m²≥0，∴0＜

7

2+m2

≤

7

2

，∴-4＜-4+

7

2+m2

≤-

1

2

，
∴

OM

•

ON

的取值范围是(-4，-

1

2

]．
综上可知：

OM

•

ON

的取值范围是[-4，-

1

2

]．

点评：熟练掌握椭圆的定义和性质、直线与圆锥曲线的相交问题的解题模式、一元二次方程的根与系数的关系及分类讨论的思想方法是解题的关键．