Question

设函数f（x）是实数集R上的单调增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）求证：F（x）在R上是单调增函数；
（2）若F（x₁）+F（x₂）＞0，求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用单调性的定义来证明F（x）是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；
（2）由F（x₁）+F（x₂）＞0，得到F（x₁）＞-F（x₂）＞0；由F（x）=f（x）-f（2-x）变形，得F（2-x₂），即F（x₁）＞-F（x₂）＞0，从而证出结论．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2-x₁）]-[f（x₂）-f（2-x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，
由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，
∴2-x₁＞2-x₂，
∴f（2-x₁）＞f（2-x₂），
∴f（2-x₂）-f（2-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＜0；
即F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）是R上的增函数．
（2）证明：∵F（x₁）+F（x₂）＞0，
∴F（x₁）＞-F（x₂）＞0；
由F（x）=f（x）-f（2-x）知，
-F（x₂）=-[f（x₂）-f（2-x₂）]=f（2-x₂）-f（x₂）=f（2-x₂）-f[2-（2-x₂）]=F（2-x₂），
∴F（x₁）＞F（2-x₂）；
又F（x）是实数集R上的增函数，
所以x₁+＞2-x₂．，
即x₁+x₂＞2．

点评：本题考查了利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用，是有一定难度的题目