Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{4}{3}$，且满足3S_n+S_n-1=4（n≥2，n∈N*），若a≤-S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤b（n∈N^*）恒成立，则b-a的最小值为（　　）

• A． $\frac{59}{72}$
• B． $\frac{7}{12}$
• C． $\frac{17}{72}$
• D． 1

Answer 1

分析 通过3S_n+S_n-1=4与3S_n+1+S_n=4作差，进而可得数列{a_n}是以$\frac{4}{3}$为首项、-$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，通过-$\frac{1}{3}$≤（-1）ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$≤$\frac{1}{9}$可知$\frac{8}{9}$≤S_n≤$\frac{4}{3}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵3S_n+S_n-1=4，
∴3S_n+1+S_n=4，
两式相减得：3a_n+1+a_n=0，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{3}$，（n≥2，n∈N^*），
又∵a₁=$\frac{4}{3}$，
∴3（a₁+a₂）+a₁=4，
解得：a₂=-$\frac{4}{9}$，
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{-\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}}$=-$\frac{1}{3}$满足上式，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{3}$，（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以$\frac{4}{3}$为首项、-$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴S_n=$\frac{\frac{4}{3}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$=1-（-1）ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∵-$\frac{1}{3}$≤（-1）ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$≤$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{8}{9}$≤S_n≤$\frac{4}{3}$，
∴-$\frac{4}{3}$≤-S_n≤-$\frac{8}{9}$，$\frac{3}{4}$≤$\frac{1}{{S}_{n}}$≤$\frac{9}{8}$，
∴$\frac{3}{4}$-$\frac{4}{3}$≤-S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤-$\frac{8}{9}$+$\frac{9}{8}$，
∴b-a的最小值为（-$\frac{8}{9}$+$\frac{9}{8}$）-（$\frac{3}{4}$-$\frac{4}{3}$）=$\frac{59}{72}$，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．