Question

2．如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AP⊥PB，且AB=2$\sqrt{2}$，AC=BC=2，E为PB边的中点．
（Ⅰ）求证：AP⊥PC；
（Ⅱ）若PC=1，求三棱锥A-PEC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ACB中，利用已知结合勾股定理可得AC⊥BC，再由面面垂直的性质可得BC⊥PA，由线面垂直的判定得PA⊥面PBC，则有AP⊥PC；
（Ⅱ）求解直角三角形可得三角形PCB的面积，结合E为PB边的中点得三角形PCE的面积，再求解直角三角形求得PA，代入棱锥体积公式求得三棱锥A-PEC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，在△ACB中
∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，则AC⊥BC，
又侧面PAC⊥底面ABC，∴BC⊥面PAC，则BC⊥PA，
又AP⊥PB，且PB∩BC=B，
∴PA⊥面PBC，则AP⊥PC；
（Ⅱ）解：在Rt△PCB中，由PC=1，BC=2，
可得${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵E为PB边的中点，∴${S}_{△PEC}=\frac{1}{2}{S}_{△PBC}=\frac{1}{2}$，
在Rt△APC中，
由PC=1，AC=2，得$PA=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{A-PEC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．