Question

已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)＞6abc.

Answer 1

证明：∵a＞0,b²+c²≥2bc,

∴由不等式的性质,得a(b²+c²)≥2abc.①

同理,b(c²+a²)≥2abc,②

c(a²+b²)≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数,所以b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ca,a²+b²≥2ab三式不能全取“＝”，从而①②③三式也不能全取“=”.

由不等式的性质的推论,①②③三式相加,得a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)＞6abc.