Question

（2013•湛江一模）“a²-a=0”是“函数f（x）=x³-x+a是增函数”的（　　）

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由题意，可先证明“a²-a=0”时“函数f（x）=x³-x+a是增函数”是否成立，验证充分性，再有“函数f（x）=x³-x+a是增函数”出发证明“a²-a=0”是否成立，即可得出正确答案

解答：解：由a²-a=0可得a=1，或a=0，当a=0时，f（x）=x³-x，此时f′（x）=3x²-1，令导数小于0，可得-

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3

＜x＜

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3

，即函数f（x）=x³-x+a在（-

3

3

，

3

3

）是减函数，
当a=1时，同理可得出函数f（x）=x³-x+a在（-

3

3

，

3

3

）是减函数，
所以当a=1，或a=0时，得不出函数f（x）=x³-x+a是增函数，所以充分性不成立
由于函数f（x）=x³-x+a是增函数与a的取值无关，故不能得出a²-a=0，必要性不成立
综上证明知，“a²-a=0”是“函数f（x）=x³-x+a是增函数”的即不充分也不必要条件
故选D

点评：本题考查充分条件与必要条件的证明，解题的关键是分清条件与结论，明确充分性与必要性的证明方向