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    17．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需要费用为100元．
    （1）求集成电路E需要维修的概率；
    （2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需费用．求X的分布列和均值．

    分析 （1）设“三个电子元件能正常工作”分别记为事件A，B，C，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，②3个元件2个不能正常工作，由此能求出集成电路E需要维修的概率．
    （2）由题意知X的可能取值为0，100，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

    解答 （本小题12分）
    解：（1）设“三个电子元件能正常工作”分别记为事件A，B，C，
    则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．
    依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
    ①3个元件都不能正常工作，概率为：
    p1=P（$\bar A\bar B\bar C$）=P（$\bar A$）+P（$\bar B$）+P（$\bar C$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$．
    ②3个元件2个不能正常工作，概率为
    p2=P（$A\bar B\bar C$）+P（$\bar AB\bar C$）+P（$\bar A\bar BC$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
    所以，集成电路E需要维修的概率为p1+p2=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
    （2）由题意知X的可能取值为0，100，200，
    P（X=0）=（1-$\frac{5}{12}$）2=$\frac{49}{144}$，
    P（X=100）=$C_2^1$•$\frac{5}{12}$•（1-$\frac{5}{12}$）=$\frac{70}{144}$，
    P（X=200）=（$\frac{5}{12}$）2=$\frac{25}{144}$．
    X的分布列为：

    X0100200
    P$\frac{49}{144}$$\frac{70}{144}$$\frac{25}{144}$
    所以E（X）=0×$\frac{49}{144}$+100×$\frac{70}{144}$+200×$\frac{25}{144}$=$\frac{250}{3}$．

    点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、转化化归思想、整体思想，是中档题．

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