Question

【题目】已知和个实数若有穷数列由数列的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 个数两两不同；②当时，都成立，则称为的一个“友数列”.

(1)若写出的全部“友数列”；

(2)已知是通项公式为的数列的一个“友数列”，且求(用表示)；

(3)设求所有使得通项公式为的数列不能成为任何数列的“友数列”的正实数的个数(用表示).

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）对分类讨论即可得到结果；

（2）由条件①知：3n个数两两不同，又 ，

，∴差值最大为3n，分类讨论即可得到结果；

（3）根据“友数列”的定义，分析即可得到结果.

解：（1）若 则 中存在两个1，不妨设，

则有 与②矛盾，

故有则，

∴

∴

即好数列 ；

（2）由条件①知：3n个数两两不同，又 ，

，

∴差值最大为3n，

而令k取1时，由，

，

若，则，

而时，

故只可能为某个 且 使，

则，矛盾，

∴必有则有，即 ，

其次，若

则此时差值中除外最大，

则有，，又，

∴，而，

则矛盾，

∴必有即

同理，若则有使

，且，

且，∴矛盾，

∴必有即，

接着考虑： ，，

若，

则有，使得，

又 ，矛盾，

∴

依次类推即可.

故对于 时，

且，

，

，

联立，得，

∴，

对于 时，

，

，

，

联立，得，

∴，

（3） ，

若 为一个数列的“友数列”，

则亦为一个数列的友数列，

故不妨设 ，则所有差排列如下：

：时，易知与条件①②矛盾；

：时，

，

，

观察上面式子，若不存在，则先比较：与

，

，

在比较与大小，

，

综上，不存在满足题意的q值.