Question

【题目】如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，二面角的平面角大小为，F是BE的中点，求证：

（1）平面ABC；

（2）平面EDB；

（3）求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）取BA的中点M，连结CM，通过证明四边形FMCD是平行四边形，证得，从而证得结论；

（2）先证面EAB，，得到，再由已知可得，即可得出结论；

（3）几何体为四棱锥，取AC中点N，连接BN，可证平面ACDE，即可求出体积.

（1）平面ABC，，

取BA的中点M，连结CM，DM，

，平面，

为二面角的平面角，

所以，

∵，，则.

∵F，M分别是BE，AB的中点，

∴，

∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴，

∴，又

∴四边形FMCD是平行四边形，∴，

平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.

（2）因M是AB的中点，是正三角形，所以

又EA垂直于平面ABC∴，

又，所以面EAB，∵面EAB

∴，又，从而，

因F是BE的中点，所以.

EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以平面EDB.

（3）几何体的体积等于

N为AC中点，连接BN

，平面ACDE

，

所以几何体的体积为.