Question

【题目】已知函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当x≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线y＝f（x）的切线，则可作切线的条数为（　　 ）

A..3B..2C.1D..0

Answer 1

【答案】A

【解析】

求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得，求得a=－3，设过点作曲线的切线的切点为，求得切线方程，代入可得m的三次方程，构造函数，求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解的个数，可得所求切线的条数．

函数的导数为，

当x0≠1时，曲线在点与点处的切线总是平行，

可得，

化简可得，解得，

依题意，设过点作曲线的切线的切点为，

可得切线的斜率为，

即有切线的方程为，

代入，可得，

化为，

设，

则，

由1<m<6，可得递减；

由m>6或m<1，可得递增，

可得的极小值为，极大值为，

可得有3个实根，

则由点可作曲线的切线的条数为3．

故选：A.