Question

【题目】武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．

（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；

（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；

参考公式及数据：40，660，xiyi＝206630，x12968，，，

（3）公司策划部选1200lnx+5000和═x3+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：

		x3+1200
	52446.95	122.89
	124650
相关指数	R	R

相关指数：R2＝1．

（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；

（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？

Answer 1

【答案】（1）方案1是较为有利的活动方案；（2）；（3）（i）进行拟合效果更好；（ii）售价为x＝40时，总利润z最大

【解析】

（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；

（2）由公式计算求出和即可得到回归方程；

（3）（i）由图表数据可知R12＜R22，故选择模型进行拟合效果更好；（ii）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，求出总利润z的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果.

（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；

（2）由公式得27.2≈﹣27，

．

故所求回归直线方程为；

（3）（i）由图表可知，R12＝1，R22＝1，

∴R12＜R22，故选择模型进行拟合效果更好；

（ii）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，

故总利润，.

当x∈(0，40)时，z′＞0，z单调递增，

当x∈(40，+∞)时，z′＜0，z单调递减．

故售价为x＝40时，总利润z最大．