Question

【题目】设函数f（x）＝x﹣x2+3lnx．

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）在直线y＝2x﹣2的下方(除点外)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极大值3ln；无极小值； （Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;

（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），转化为证明,利用导数求得最大值即可证明结论.

（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣2x，

令f′（x）＞0，解得：0＜x，令f′（x）＜0，解得：x，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

故f（x）极大值＝f（）3ln3ln；无极小值；

（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），

g′（x）＝﹣2x﹣1，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，

故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故g（x）max＝g（1）＝﹣1﹣1+2+3ln1＝0，

故曲线y＝f（x）在直线y＝2x﹣2的下方(除点外)．