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    【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为.右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点.

    (1)求椭圆的离心率;

    (2)若，设直线，延长交直线于点，线段的中点为，求证:点关于直线的对称点在直线上

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

    【解析】

    (1)求出关于的表达式再利用离心率求解即可.

    (2) 直线的方程为,进而求得,.再联立与椭圆的方程,进而求得的坐标为,再求直线的斜率,利用二倍角的正切公式证明即可.

    (1)因为椭圆,所以,

    又,所以,所以椭圆的离心率

    (2)直线的方程为,将代入得,

    所以.

    因为为线段的中点,所以,因为焦点的坐标为,

    所以直线的斜率,

    联立消去得,

    由,且

    所以点的坐标为

    所以直线的斜率

    而直线的斜率为,若设,则有,

    即.

    所以点关于直线的对称点在直线上,

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