Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要证明线面平行，关键是证明线线平行，所以取中点，连结，，根据条件证明；

（2）取中点，连结，可证明平面，取中点，连结，则，以为原点，如图建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用两个平面的法向量求二面角的余弦值.

证明：（1）取中点，连结，．

因为为中点，所以，．

因为，．所以且．

所以四边形为平行四边形，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）取中点，连结．

因为，所以．

因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面．取中点，连结，则．

以为原点，如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

，．

平面的法向量，

设平面的法向量，

由，得．

令，则，．

由图可知，二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为．