Question

【题目】已知函数，

（1）求的极值；

（2）若时，与的单调性相同，求的取值范围；

（3）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：.

Answer 1

【答案】(1) 极小值，无极大值. (2) (3)证明见解析

【解析】

（1）通过导函数大于零和小于零的解得函数单调区间，求出极值；

（2）由（1）知，在单调递增，则在恒成立，转化成不等式恒成立求参数范围；

（3）时，有最小值，则的最小值是这个区间上的极小值，隐含着的根，结合根的存在性定理确定的范围，利用隐零点关系转化，即可求证.

解：（1）的定义域为，，

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增.

所以有极小值，无极大值.

（2）由（1）知，在单调递增.

则在单调递增，即在恒成立，

即在恒成立，

令，；，

所以当时，；当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又时，，所以，

∴.

（3），，，

∵，，∴，

∴在单调递增，

又，，

∴存在唯一的，使得，

即，即，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，

令，，则恒成立，

则在上单调递减，

∴即即，

∴.