Question

【题目】已知数列的前项和满足.

(1)证明数列为等差数列，并求出数列的通项公式.

(2)若不等式，对任意恒成立，求的取值范围.

(3)记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出所有符合条件的有序实数对(，)；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析，；(2) ；(3) 存在， (1，1)，(1，2).

【解析】

（1）由与关系，得出的递推关系，再用等差数列的定义，证明为等差数列，求出其通项，即可求得的通项公式；

（2）不等式，对任意恒成立，分离参数转为对任意恒成立，转为求数列的最大值，即可求出结果；

（3）求出通项公式，以及前项和为，代入化简，转化为关于的不等式，结合为正整数，可求出的值.

(1)当=1时，，得，

当时，，，

两式相减得：，

∴，即，

又，

∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.

(2)由(1)知，即

∵

∴不等式，对任意恒成立，

等价于对任意恒成立，

记

法一：则时，

∴时，；时，.

或(法二)：时，

∴当时，，

∴或时，取最大值为，

∴，即

∴入的取值范围是:.

(3)由得

∴数列的前项和为，

则

∵，得

∴

∴

∵是正整数，∴

当时，即

解得，.

综上存在所有符合条件的有序实数对(，)为:(1，1)，(1，2).