Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．

（1）求二面角P﹣AB﹣C的大小；

（2）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，证出为P﹣AB﹣C二面角，在中利用余弦定理即可求解.

（2）由（1）以为轴，以为轴，过作平面的垂线，以垂线为轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出线面角.

（1）

分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有

在等腰直角△PAB中，O是中点，

则有AB⊥PO﹣﹣﹣①

在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，

BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②

由①②可知，AB⊥平面PON，

又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．

又AB＝2，则 MN＝1，

又PM＝AC＝2，则有PN，又OP＝ON＝1，

由三角形余弦定理可知，，

∴∠PON＝，

即二面角P﹣AB﹣C的大小为．

（2）

建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作PD⊥ON交NO延长线于点D，设AB＝AC＝2，则有

A（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），

由（1）可知，∠POD＝180°﹣∠PON＝60°，又∵OP＝1，∴．

∴，．

∴，

设平面PBC的一个法向量为，则有，

又∵，，∴，

∴．

设直线PM与平面PBC所成角为θ，则有：

．

故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．