Question

【题目】已知在三棱锥中， 是等腰直角三角形，且

平面

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若为的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； .

【解析】试题分析：（1）通过， 可证得平面，又平面，利用面面垂直的判定定理可得证.

(2) 求出面的法向量和平面的法向量，

试题解析：（1）证明：因为平面平面，所以，又因为，所以平面平面，所以平面平面.

由已知可得如图所示建立空间直角坐标系，由已知， ， ， ， .有， ， ，设平面的法向量，有，令，得，

设平面的法向量，有，令，得，二面角的余弦值.

点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间角的求解.第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问空间角的考查是合理建立空间右手系，并求出两个平面的法向量，要注意判断二面角是锐角还是钝角.