Question

【题目】已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当时，求面积的最大值；

（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

试题(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率，列方程组，可求得的值.（II）当直线斜率不存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，求出两点坐标，代入，可求得直线方程，进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程 ，写出韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式，并利用二次函数求最值的方法求得最大值.（III）设出直线方程和外接圆的方程，分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程，化简后的两个方程同解，通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标.

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意知：且，

可得：，

椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设，与联立得：

.

由于，得，解得或（舍去）.

此时，的面积为.

当直线的斜率存在时，设，与联立得：

.

由，得；

且，.

由于，

得：.

代入式得：，

即或（此时直线过点，舍去）.

，

点到直线的距离为：.

的面积为，将代入得：

的面积为.

面积的最大值为.

（Ⅲ）设直线的方程为，联立方程得：

①.

设的外接圆方程为：联立直线的方程的：

②.

方程①②为同解方程，所以：.

又由于外接圆过点，则.

从而可得到关于的三元一次方程组：

，解得：.

代入圆的方程为：.

整理得：；

所以，解得或（舍去）.

的外接圆恒过一个异于点的定点.