【题目】已知椭圆的离心率为
,
是椭圆的左、右焦点,过
作直线
交椭圆于
两点,若
的周长为8.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线的斜率不为0,且它的中垂线与
轴交于
点,求
点的纵坐标的范围;
(3)是否在轴上存在点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)
的纵坐标的范围为
;(3)
.
【解析】
试题(1)由椭圆定义得的周长为
,再结合离心率,列方程组解得
,
,
,(2)先以直线
的斜率
表示它的中垂线方程(结合韦达定理求中点坐标),解出与
轴交点,即为
点的纵坐标:
,再根据基本不等式求取值范围,注意讨论斜率不存在的情形,(3)
轴平分
,等价于
,再利用坐标表示可得两根和与积的关系,最后根据韦达定理代入化简可得
的值.
试题解析:(1)依题意得,
,解得
,
,
,
所以椭圆方程为.
(2)当不存在时,
为坐标原点,
,
当存在时,由
可得
,
设,
,
则,
,(*)
设弦有中点为
,则
,
,
则,
令,有
,
综上所述,的纵坐标的范围为
.
(3)存在满足条件,
假设存在使得
轴平分
,则
,
即
,
有,
将(2)中(*)式代入有,
解得.
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【题目】已知平面直角坐标系中,过点
的直线l的参数方程为
(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
与曲线C相交于不同的两点M,N.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若,求实数a的值.
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【题目】已知椭圆:
经过点
,离心率为
,点
为椭圆
的右顶点,直线
与椭圆相交于不同于点
的两个点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当时,求
面积的最大值;
(Ⅲ)若直线的斜率为2,求证:
的外接圆恒过一个异于点
的定点.
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【题目】已知椭圆的一个顶点为抛物线
的焦点,点
在椭圆
上且
,
关于原点
的对称点为
,过
作
的垂线交椭圆于另一点
,连
交
轴于
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:轴;
(3)记的面积为
的面积为
,求
的取值范围.
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【题目】某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如表:
(1)用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为
的样本,将该样本看成一个总体,从中任取
人,求至少有
人的学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人,其中
岁以下
人,
岁以上
人,再从这
个人中随机抽取出
人,此人的年龄为
岁以上的概率为
,求
的值.
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【题目】已知两点,
,动点
与
两点连线的斜率
满足
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)是曲线
与
轴正半轴的交点,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知两点,
,动点
与
两点连线的斜率
满足
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)是曲线
与
轴正半轴的交点,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知为等腰直角三角形,
,将
沿底边上的高线
折起到
位置,使
,如图所示,分别取
的中点
.
(1)求二面角的余弦值;
(2)判断在线段上是否存在一点
,使
平面
?若存在,求出点
的位置,若不存在,说明理由.
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【题目】某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量
万件满足
(其中
,
为正常数).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品
万件还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
万元/万件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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