【题目】已知两点,
,动点
与
两点连线的斜率
满足
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)是曲线
与
轴正半轴的交点,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(
);(Ⅱ)3个
【解析】试题(Ⅰ)求动点的轨迹方程的一般步骤:1.建系——建立适当的坐标系.2.设点——设轨迹上的任一点P(x,y).3.列式——列出动点P所满足的关系式.4.代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式,并化简.5.证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.
(Ⅱ)由题意可知设所在直线的方程为
,则
所在直线的方程为
分别联立椭圆方程求得弦长
,
,再由
得
解方程即可
试题解析:(Ⅰ)设点的坐标为
(
),则
,
, 2分
依题意,所以
,化简得
, 4分
所以动点的轨迹
的方程为
(
). 5分
注:如果未说明(或注
),扣1分.
(Ⅱ)设能构成等腰直角,其中
为
,
由题意可知,直角边,
不可能垂直或平行于
轴,故可设
所在直线的方程为
,
(不妨设),则
所在直线的方程为
7分
联立方程,消去
整理得
,解得
,
将代入
可得
,故点
的坐标为
.
所以, 9分
同理可得,由
,得
,
所以,整理得
,解得
或
11分
当斜率
时,
斜率
;当
斜率
时,
斜率
;
当斜率
时,
斜率
,
综上所述,符合条件的三角形有个. 14分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增.
(Ⅰ)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;
(Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
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【题目】已知抛物线,直线
交
于
两点,
是
的中点,过
作
轴的垂线交
于
点.
(1)证明:抛物线在
点处的切线与
平行;
(2)是否存在实数,使以
为直径的圆
经过
点?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
是椭圆的左、右焦点,过
作直线
交椭圆于
两点,若
的周长为8.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线的斜率不为0,且它的中垂线与
轴交于
点,求
点的纵坐标的范围;
(3)是否在轴上存在点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
温差 | 12 | 11 | 13 | 10 | 8 |
发芽率 | 26 | 25 | 30 | 23 | 16 |
(1)从这5天中任选2天,求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率;
(2)请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)根据(2)中所得的线性回归方程,预测温差为时,种子发芽的颗数.
参考公式:,
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【题目】已知椭圆的两个焦点
,
,离心率为
,
的周长等于
,点
、
在椭圆上,且
在
边上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,过圆上任意一点
作椭圆的两条切线
和
与圆
交与点
、
,求
面积的最大值.
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【题目】已知点、
为双曲线
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,在
轴上方交双曲线
于点
,且
,圆
的方程是
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为
、
,求
的值;
(3)过圆上任意一点
作圆
的切线
交双曲线
于
、
两点,
中点为
,求证:
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