Question

17．已知sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，求$\frac{tan（α+β）-tanα-tanβ}{ta{n}^{2}βtan（α+β）}$的值．

Answer 1

分析 由两角和与差的正弦公式和整体思想可得sinαcosβ和cosαsinβ的值，再由同角三角函数的基本关系变形要求的式子代入计算可得．

解答 解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{2}$，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，
∴sinαcosβ=$\frac{5}{12}$，cosαsinβ=$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{tan（α+β）-tanα-tanβ}{ta{n}^{2}βtan（α+β）}$=$\frac{\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}-（tanα+tanβ）}{ta{n}^{2}β•\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}}$
=$\frac{\frac{1}{1-tanαtanβ}-1}{ta{n}^{2}β•\frac{1}{1-tanαtanβ}}$=$\frac{\frac{tanαtanβ}{1-tanαtanβ}}{\frac{ta{n}^{2}β}{1-tanαtanβ}}$=$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{sinαcosβ}{cosαsinβ}$=5

点评 本题考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系和整体法的应用，属中档题．