Question

2．△ABC中，sinA，sinB，sinC成等差数列，且2cos2B=8cosB-5，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由二倍角的余弦公式化简2cos2B=8cosB-5并求出cosB，由B的范围求出角B，由等差中项的性质、正弦定理、余弦定理化简条件，得三角形边的关系，结合角B的值可确定三角形形状．

解答 解：由2cos2B=8cosB-5得，4cos²B-8cosB+3=0，
则（2cosB-1）（2cosB-3）=0，
解得cosB=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$（舍去），
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，
∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴2sinB=sinA+sinC，由正弦定理得a+c=2b，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{（\frac{a+c}{2}）}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
化简得a²+c²-2ac=0，解得a=c，
又B=$\frac{π}{3}$，则A=B=C=$\frac{π}{3}$，即△ABC是等边三角形．

点评 本题考查二倍角的余弦公式，等差中项的性质，正弦定理、余弦定理等，属于中档题．