Question

7．已知全集U=R，集合A={x|x≤-a-1}，B={x|x＞a+2}，C={x|x＜0或x≥4}都是U的子集，若∁_U（A∪B）⊆C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 利用题中集合A，B，C，因集合A，B中含有字母a，所以要分类讨论，然后再根据并集、补集，结合子集的定义进行求解．

解答 解：（1）-a-1＜a+2时，得a＞-$\frac{3}{2}$，
∴∁_U（A∪B）=（-a-1，a+2]，
为使∁_U（A∪B）⊆C成立，
∴①a+2＜0，解得a＜-2，
②-a-1≥4，解得a＜-2或a≤-5，
而此时-a-1＜a+2，解得：a＞-$\frac{3}{2}$，
∴无解；
（2）-a-1≥a+2时，得：a≤-$\frac{3}{2}$，
∴∁_U（A∪B）=[a+2，-a-1）=∅，
显然∁_U（A∪B）⊆C成立，
综上：a≤-$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查子集的定义及其有意义的条件和集合的交集及补集运算，另外还考查了分类讨论的思想，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要引起注意．