Question

13．如图，Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE分成3个三角形，S_△ACE=30，S_△CED=6，则△BCD的面积为（　　）

• A． 4
• B． 9
• C． 4或8
• D． 4或9

Answer 1

分析 由CE平分∠ACB，可得$\frac{{S}_{△CAE}}{{S}_{△CEB}}=\frac{30}{6+x}=\frac{CA•CE}{CB•CE}=\frac{CA}{CB}$，由CD是Rt△ABC的高，可得$\frac{30+6}{x}=（\frac{CA}{CB}）^{2}$，从而$\frac{30+6}{x}=（\frac{30}{6+x}）^{2}$，即可得解．

解答 解：设△BCD的面积为x，S_△ACE=30，S_△CED=6，
∵CE平分∠ACB，
∴$\frac{{S}_{△CAE}}{{S}_{△CEB}}=\frac{30}{6+x}=\frac{CA•CE}{CB•CE}=\frac{CA}{CB}$，
∵CD是Rt△ABC的高，
∴△CAD∽△BCD，
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{30+6}{x}=（\frac{CA}{CB}）^{2}$，
∴$\frac{30+6}{x}=（\frac{30}{6+x}）^{2}$，从而解得：x=4或9．
故选：D．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质，由三角形面积之比转化为边长之比是解题的关键，属于中档题．