Question

1．已知函数f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），若函数f（x）满足?x∈I（其中I为函数f（x）的定义域），当x≠x₀时，（f（x）-g（x））（x-x₀）＜0恒成立，则称x=x₀为函数f（x）的“分界点”．已知函数f（x）满足f（1）=5，f′（x）=6-2x-$\frac{4}{x}$，则函数f（x）的“分界点”的个数为（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 无数个

Answer 1

分析 可设f（x）=6x-x²-4lnx+t，由导数可得t=0，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，画出函数的图象，结合新定义，即可得到所求个数．

解答 解：f（x）满足f（1）=5，f′（x）=6-2x-$\frac{4}{x}$，
可设f（x）=6x-x²-4ln|x|+t，
由6-1-0+t=5，可得t=0，
即有f（x）=6x-x²-4ln|x|，
当x＞0时，y=6x-x²-4lnx，
当x＜0时，y=6x-x²-4ln（-x），
当x＞0时，由f′（x）＞0可得1＜x＜2，
由f′（x）＜0可得x＞2或0＜x＜1，
即f（x）的增区间为（1，2），减区间为（0，1），（2，+∞），
作出函数f（x）（x＞0）的图象，
当x＜0时，f′（x）=6-2x-$\frac{4}{x}$＞0成立，f（x）递增，
f″（x）=-2+$\frac{4}{{x}^{2}}$=0，解得x=±$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$满足．
由新定义，当x≠x₀时，（f（x）-g（x））（x-x₀）＜0恒成立，
则称x=x₀为函数f（x）的“分界点”．
通过图象可得“分界点”有一个．
故选：B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求单调区间，通过数形结合的思想方法是解题的关键．