Question

12．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y≥10}\\{2x-3y≤-6}\\{2x+y≤10}\end{array}\right.$，求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再明确目标函数几何意义，目标函数表示动点（x，y）与定点P（-1，-1）连线斜率，过P做直线与可行域相交可计算出直线斜率，从而得出所求目标函数范围

解答 解：x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y≥10}\\{2x-3y≤-6}\\{2x+y≤10}\end{array}\right.$，
对应的平面区域如图
$\frac{y+1}{x+1}$表示可行域内任一点（x，y）
与定点P（-1，-1）连线的斜率．
由图可知，过A（3，4）的直线斜率为$\frac{5}{4}$，
直线2x+5y=10的斜率为-$\frac{2}{5}$，
所以$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是（-∞，-$\frac{2}{5}$）∪[$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．