Question

12．已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），若f（2）=2，则f（2010）的值为2．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性及题设中关于g（x）与f（x-1）关系式，转换成关于f（x）的关系式，进而寻求解决问题的突破口，从函数的周期性方面加以以考查：f（x）为周期函数即得．

解答 解：由g（x）=f（x-1），x∈R，得f（x）=g（x+1）．
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
故有f（x）=f（-x）=g（-x+1）=-g（x-1）=-f（x-2）=-f（2-x）=-g（3-x）=g（x-3）=f（x-4）
也即f（x+4）=f（x），x∈R．
∴f（x）为周期函数，其周期T=4．
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用．应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质．