Question

1．设函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+b}{x+c}$是奇函数（a，b，c∈N），且f（1）=2，f（2）＜3，①求a、b、c的值，②判断并证明：f（x）在[1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 ①根据函数的奇偶性，建立方程关系即可求a、b、c的值，
②根据a，b，c求出函数的解析式即可判断并证明：f（x）在[1，+∞）上的单调性．

解答 解：①∵函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+b}{x+c}$是奇函数（a，b，c∈N），
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{a{x}^{2}+c}{-x+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+b}{x+c}$，
即-x+c=-x+c，
即c=-c，解得c=0，
即f（x）=$\frac{a{x}^{2}+b}{x}$，
∵f（1）=2，f（2）＜3，
∴f（1）=$\frac{a+b}{1}=a+b$=2，即b=2-a，
f（2）=$\frac{4a+b}{2}$＜3，
即4a+b＜6，
即4a+2-a＜6，
则3a＜4，即a＜$\frac{4}{3}$，
∵a，b∈N，
∴a=0或a=1，
若a=0，则b=2，c=0，
若a=1，则b=1，c=0．
②若a=0，则b=2，c=0，则f（x）=$\frac{2}{x}$，则f（x）在[1，+∞）上的单调递减．
若a=1，则b=1，c=0，即f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
函数的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$≥0，即此时函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．