Question

10．数列{a_n}满足a₁＞0，a_n+1-1=a_n（a_n-1），$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$=1，求a₂₀₁₃-a₁的最大值．

Answer 1

分析 通过对a_n+1-1=a_n（a_n-1）变形可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，并项相加知1=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$，整理得a₂₀₁₃-a₁=-（$\frac{1}{{a}_{1}-2}$+a₁-2）-2，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴1=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$
=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2012}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-1
=$\frac{1-（{a}_{1}-1）}{{a}_{1}-1}$
=$\frac{2-{a}_{1}}{{a}_{1}-1}$，
∴a₂₀₁₃=$\frac{{a}_{1}-1}{2-{a}_{1}}$+1=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$，
∴a₂₀₁₃-a₁=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$-a₁
=-（$\frac{1}{{a}_{1}-2}$+a₁-2）-2
≤-2$\sqrt{\frac{1}{{a}_{1}-2}•（{a}_{1}-2）}$-2（当且仅当$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=a₁-2即a₁=3时取等号）
=-4，
∴a₂₀₁₃-a₁的最大值为-4．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．