Question

16．已知函数y=f（x）为奇函数，y=g（x）为偶函数，且F（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{x+1}$，则f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用方程组法进行求解即可．

解答 解：∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{x+1}$．①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x+1}$；
∵y=f（x）为奇函数，y=g（x）为偶函数，
∴-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x-1}$ ②
由①②得g（x）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，f（x）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$．
故答案为：$\frac{x}{{x}^{2}-1}$；$\frac{1}{{x}^{2}-1}$

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数的奇偶性建立方程关系是解决本题的关键．