Question

4．已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n ）=c_n（n∈N⁺）．设c_n=2ⁿ+n，a_n=$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$．当b₁=1时．求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过题意可知当n是奇数时a_n=0、当n是偶数时a_n=1，进而化简可知当n为奇数时b_n+1-b_n=n+2ⁿ、当n是偶数时b_n+1-b_n=-n-2ⁿ，通过累加、分类讨论即得结论．

解答 解：当n是奇数时a_n=$\frac{1-1}{2}$=0，当n是偶数时a_n=$\frac{1+1}{2}$=1，
依题意，当n为奇数时n+1为偶数，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n ）=c_n（n∈N⁺），
即为：b_n+1-b_n=n+2ⁿ，
当n是偶数时n+1是奇数，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n ）=c_n（n∈N⁺），
即为：b_n+1-b_n=-n-2ⁿ，
∴b₂-b₁=2¹+1，
b₃-b₂=-2²-2，
b₄-b₃=2³+3，
b₅-b₄=-2⁴-4，
…
b_n-b_n-1=（-1）ⁿ•（2^n-1+n-1），
综上，①当n是奇数时累加得，
b_n-b₁=（2¹-2²+2³+…+2^n-2-2^n-1）+[1-2+3-4+…-（n-1）]
∴b_n-1=2•$\frac{1-（-2）^{n-1}}{1-（-2）}$+$\frac{（-1）（n-1）}{2}$，
∵n-1是偶数，
∴b_n=-$\frac{{2}^{n}}{3}$-$\frac{n}{2}$+$\frac{13}{6}$；
②当n是偶数时累加得：
b_n-b₁=（2¹-2²+2³+…+2^n-1）+[1-2+3-4+…+（n-1）]
∴b_n-1=2•$\frac{1-（-2）^{n-1}}{1-（-2）}$+$\frac{（-1）（n-2）}{2}$+n-1，
∵n-1是奇数，
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{3}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{3}$；
综上所述，数列{b_n}的通项公式b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{n}{2}+\frac{13}{6}，}&{n为奇数}\\{\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{n}{2}+\frac{5}{3}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．