Question

已知函数f(x)=x²+ax+b,当p,q满足p+q=1时,证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0≤p≤1.

Answer 1

见解析

证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x²+ax+b)+q(y²+ay+b)-(px+qy)²-a(px+qy)-b
=p(1-p)x²+q(1-q)y²-2pqxy
=pq(x-y)²(因为p+q=1).
充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].
所以pq≥0,所以pq(x-y)²≥0,
所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),
则pq(x-y)²≥0,
因为(x-y)²≥0,所以pq≥0.
即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.
综上,原命题成立.