【题目】 设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
（1）求
、
；
（2）证明
.
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得
的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.
试题解析：（1）函数
的定义域为
，
.
由题意可得
，
.故，.
（2）证明：由（1）知，
，
从而
等价于
.
设函数
，则
.
所以当
，
；
当
时，
.
故
在
上单调递减，
上单调递增，从而在
上的最小值为
.
设函数
，则
.
所以当
时，
；当
时，
.故
在
上单调递增，在
上单调递减，从而在
上的最大值为
.
综上，当
时，
，即
.
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【题目】某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )
A. 简单随机抽样 B. 系统抽样
C. 分层抽样 D. 抽签法
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【题目】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
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【题目】已知函数
有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数．
（1）已知
，利用上述性质，求函数
的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数
和函数
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数
的值．
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【题目】下面为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为
S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL __________
a=S/20
PRINT a
END
A. i>50 B. i<50 C. i>=50 D. i<=50
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【题目】对于在区间
上有意义的两个函数
与
，如果对任意的
，均有
，则称
与
在
上是接近的，否则称
与
在
上是非接近的.现在有两个函数
与
，现给定区间
.
（1）若
，判断
与
是否在给定区间上接近；
（2）是否存在
，使得
与
在给定区间
上是接近的；若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
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【题目】如图所示，矩形
和矩形
所在平面互相垂直，
与平面
及平面
所成的角分别为
，
，
、
分别为
、
的中点，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求线段
的长；
（3）求二面角
的平面角的正弦值.
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