Question

已知定义在[1，8]上的函数f(x)=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，2＜x≤8

，该函数的值域是

[0，4]

．

Answer 1

分析：对于分段函数可先分段考虑：当1≤x≤2时，利用绝对值函数画出其图象，当2＜x≤4时，1＜

x

2

≤2，此时f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

（4-8|

x

2

-

3

2

|），当4＜x≤8时，1＜

x

4

≤2，此时f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

×

1

2

×f（

x

4

）=

1

4

（4-8|

x

4

-

3

2

|），分别在坐标系中画出f（x）在（4，8]上的图象，最后观察图象得出该函数的值域．

解答：解：当1≤x≤2时，
f（x）=4-8|x-

3

2

|=

4-8(x- 3 2 )， 3 2 ＜x≤2 4+8(x- 3 2 )，1≤x≤ 3 2

，
在坐标系中画出f（x）在[1，2]上的图象，如图中所示．
当2＜x≤4时，1＜

x

2

≤2，此时
f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

（4-8|

x

2

-

3

2

|），同样在坐标系中画出f（x）在（2，4]上的图象，如图中所示．
当4＜x≤8时，1＜

x

4

≤2，此时
f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

×

1

2

×f（

x

4

）=

1

4

（4-8|

x

4

-

3

2

|），同样在坐标系中画出f（x）在（4，8]上的图象，如图中所示．
观察图象可知，该函数的值域是[0，4]．
故答案为：[0，4]．

点评：本小题主要考查分段函数的应用、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．